একটি গোলাকার বলের আয়তনের বৃদ্ধির হার তার ব্যাসার্ধ r এর বৃদ্ধির হারের কতগুণ?

একপদী ও বহুপদী ফাংশনের অন্তরীকরণ হলো এক ধরনের গাণিতিক প্রক্রিয়া যেখানে এক বা একাধিক পদবিশিষ্ট ফাংশনের জন্য সমাকলন (integration) করা হয়। একপদী ও বহুপদী ফাংশনের অন্তরীকরণ প্রক্রিয়া একটু আলাদা হলেও মূলত অন্তরীকরণের মৌলিক নিয়ম প্রয়োগ করেই এগুলি সম্পন্ন করা হয়।

একপদী ফাংশনের অন্তরীকরণ

একপদী ফাংশন সাধারণত এই রকম হয়: \( ax^n \), যেখানে \( a \) একটি ধ্রুবক এবং \( n \) একটি সূচক। একপদী ফাংশনের অন্তরীকরণ করতে হলে নিচের নিয়মটি প্রয়োগ করা হয়:

\[
\int ax^n , dx = \frac{a x^{n+1}}{n+1} + C
\]

উদাহরণ:
\[
\int 3x^2 , dx = \frac{3 x^{2+1}}{2+1} + C = x^3 + C
\]

এখানে \( C \) একটি ধ্রুবক যা অন্তরীকরণ ধ্রুবক (constant of integration) হিসেবে পরিচিত।

বহুপদী ফাংশনের অন্তরীকরণ

বহুপদী ফাংশন একাধিক পদ বিশিষ্ট হয়। এটি এই রকম হয়: \( ax^n + bx^m + cx^p + \dots \), যেখানে \( a \), \( b \), \( c \) প্রভৃতি ধ্রুবক এবং \( n \), \( m \), \( p \) প্রভৃতি সূচক।

বহুপদী ফাংশনের জন্য অন্তরীকরণ করতে হলে প্রতিটি পদকে আলাদা আলাদাভাবে অন্তরীকরণ করতে হয়।

নিয়ম:
\[
\int (ax^n + bx^m + cx^p + \dots) , dx = \int ax^n , dx + \int bx^m , dx + \int cx^p , dx + \dots
\]

উদাহরণ:
\[
\int (3x^2 + 4x + 5) , dx
\]

এক্ষেত্রে, প্রতিটি পদকে আলাদাভাবে অন্তরীকরণ করলে পাওয়া যায়:

\[
= \int 3x^2 , dx + \int 4x , dx + \int 5 , dx
\]

\[
= \frac{3x^{2+1}}{2+1} + \frac{4x^{1+1}}{1+1} + 5x + C
\]

\[
= x^3 + 2x^2 + 5x + C
\]

সারাংশ

একপদী ও বহুপদী ফাংশনের অন্তরীকরণ খুবই গুরুত্বপূর্ণ প্রক্রিয়া এবং এটি ক্যালকুলাসের বিভিন্ন ক্ষেত্রে ব্যবহার করা হয়, বিশেষত ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয়ের ক্ষেত্রে।